19 май 2012 12:29:03

"Взялся за гуж, не говори, что не дюж!"
==================================================

Для меня - дилетанта с нулевым и здесь рейтингом -
обоснованием правоты заглавия этой темы - девиза Школы -
служат слова Давида Гильберта в его докладе 08.08.1900:
(http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM)

"Один старый французский математик сказал:
''Математическую теорию можно считать совершенной
только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной,
что берешься изложить ее содержание первому встречному''.

Это требование ясности и легкой доступности, которое
здесь так резко ставится в отношении математической теории,
я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы,
если она претендует на совершенство;
ведь ясность и легкая доступность нас привлекают,
а усложненность и запутанность отпугивают.
…
Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость
в доказательстве - это враг простоты.
Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном:
строгие методы являются в то же время простейшими
и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз
и приводит к отысканию простейших доказательств ...
Это же стремление часто прокладывает путь к методам,
которые оказываются более плодотворными, чем старые ... "
=======================================================

Попытаюсь-ка я "изложить .. содержание первому встречному" -
реконструкции доказательства самим Пьером де Ферма теоремы,
названной 'последней'- из "добычи его интеллекта".
* * *
0) Если А, В, С, N - натуральные числа, то сумма
А и В в степени N каждое не может быть равна
С в степени N, если N больше двух.

1) Можно считать, что А,В,С не имеют общего множителя, -
он не изменил бы сущность рассматриваемого уравнения.

2) Можно считать, что N - простое число, т.к., если для
для N=M теорема верна, то верна она и для N=MK, иначе
существовало бы решение для N=M, где вместо А, В, С
стояли бы эти числа в степени K.

3) Можно считать, что именно А и N не имеют общего
множителя ("взаимно просты",- или переобозначим В в А).

4) Разложим разность степеней N чисел С и В на два
множителя: (С-В)(сумма положительных слагаемых), где
вторая скобка - полином степени (N-1) - по теореме Безу
имеет вид: (С-В)(... ...) + N[ В в степепени (N-1)].

5) Отмечаем, что два сомножителя п.4) взаимно просты
из-за взаимной простоты N и А, а следовательно число А
в степени N содержит сомножитель (С-В),- его обозначим
Q в степени N, - а второй сомножитель, дополняющий
произведение до А в степени N, назовём Р в степени N.
Не забудем до п.8), что Р и Q - взаимно просты!

6) Заменим в исходном уравнении теоремы А на РQ, а С
на ( В + Q в степени N). И, задавая натуральным числам
Р > Q всевозможные значения, взаимно простые с N,
найдём все решения уравнения теоремы из полученного
уравнения с одним неизвестным В.

7) Для N=2 уравнение по п.6) - линейное:
. . . . (РQ)(в квадрате)= Q^2(2В+Q^2), -
оно даёт древнее решение для троек Пифагора :
_ А = РQ; В = (Р^2 - Q^2)/2; С = (Р^2 + Q^2)/2.

8) Для N=3 уравнение по п.6) получается квадратным:
. . . . Q^3(3В^2 + 3Q^3В + Q^6)=(РQ)^3, -
и его дискриминант (12P^3 - 3Q^6), не может быть
равен нулю из-за взаимной простоты Р и Q, так что
это уравнение имеет два разных корня.
Но корнем кубическим из (С^3 - A^3) может быть только
одно вещественное число, и теорема верна для кубов.

9) П.8), вообще говоря, излишен, т.к. в этой теореме тоже
общее доказательство проще, чем для частного случая,
и оправдывает собственный эпитет ‘mirabilem sane’
Пьера де Ферма - одного из пионеров матанализа:

( с учётом следствий основной теоремы алгебры)
для нечётных N = 2M+1 получаемое уравнение чётной
степени может иметь только чётное число вещественных
корней, т.е. для существования требуемого решения
корень должен быть НЕ однократным, и представление
уравнения произведением скобок (B - i-корень) должно
давать равную нулю первую производную по "нужной" скобке.
Но в силу п.4) первая производная ненулевой части уравнения
всегда положительна. Следовательно, с учётом п.2)
теорема верна для всех N кроме степеней двойки.

10) Для биквадратов получается ... с Q^4 = (С-В),
но, решая это уравнение как уравнение для пифагоровой
тройки на квадратах А, В, С, получим по п.7) решение:
В^2 = (Р^4 - Q^4)/2; С^2 = (Р^4 + Q^4)/2
с (С^2 - В^2)= Q^4 , т.е. (С-В) < Q^4 строго ...

С учётом п.2) теорема доказана полностью.

--------------------------------------------------------------------------
Примечание. Нормально существование доказательств
различными способами. Очевидно,что иное,чем в п10)
док-во для биквадратов Пьер де Ферма "опубликовал"
как иллюстрацию изобретённого им метода спуска.
---------------------------------------------------------------------------
==================================================

Если "строгость" в этой "реконструкции" достаточна, а
"первый встречный" старше моего правнука (детсад), то
это док-во доступно старшеклассникам - в улучшенном
изложении профессионала педагога математики.

А для 'клиентов' "Мурзилки" на эту тему пока хватит:

В среднем веке Пьер Ферма
День на службе вёл сперва,
. . . На досуге ж между тем
. . . Вывел сотню теорем.

Им признанья не искал :
В Книге на полях черкал,
. . . И доказательство последней
. . . Аж за три сотни с гаком лет
Не отыскалось. ... Сложно Энди –
Став Сэр Уайлс , - нашёл ответ,
Прав был гасконец или нет.

"Я не хочу судьбу иную",
Коль мысль Ферма не растолкую,
_ Так чтоб «первый встречный» знал,
_ Как ГАСКОНЕЦ рассуждал.

УДАЧИ !!

Найдены запрещенные ББкоды ([URL] или [IMG]).